2014-07-07 10:30:16 福州事业单位考试 https://fuzhou.huatu.com/ 文章来源：福州人事人才网
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例题：某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少
A.34 B.35 C.36 D.37
为便于解决此类计数问题，不妨先让我们引入小学奥数中经常用到的一个原理，即容斥原理：
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先容纳(计算)进去，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去(减去)，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理中经常用到的有如下两个公式：
运用上述两个公式需要注意以下情况：
这两个公式分别主要针对两种情况：个公式是针对涉及到计算两类事物的个数，第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。
在理清了容斥原理之后，再来计算前面所提到的例题就会发现，运用容斥原理解决此类问题就会方便很多。
一、运用容斥原理公式来解题
题干中所要寻找的是三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种，而这道题已经给出了这三项建筑防水卷材产品总共有52种，所以，只要求得至少有一项不达标的产品的种数，就可以计算出三项全部合格(达标)的产品种数。而不合格的产品涉及到三种情况，所以运用三个集合的容斥关系公式成了解决此题的不二选择。
假设B是低温柔度不合格产品的集合，A是可溶物含量不达标的产品集合，C属于接缝剪切性能不合格的产品集合，则：
当然，此题还有一种相对较为容易理解的算法，即用文氏图法。
二、借助文氏图来计算
如下图所示，I是所有建筑防水卷材产品的集合，A是可溶物含量不达标的产品集合，B是低温柔度不合格产品的集合，C属于接缝剪切性能不合格的产品集合，图中的数字即是相应集合中元素的个数。
图中黑色部是同时两项不格的产品集合，灰色部是这三项都不合格的产品集合。计算至少有一项不达标的产品的种数时候，黑色部分重复计算了一次，灰色部分复计算了两次，所以，至少有一项不达标的产品的种数有10+8+9-7×1-1×2=18(种)进而可求出三项全部合格的建筑防水卷材产品有(52-18)种，即34种。
考生在学习本文时，要注意以下两点：
1、文氏图表示的都是相应的集合，而本篇文稿所提到的要解决的问题则是计算集合内事物个数的问题。
2、一般情况下，较为容易的采用容斥原理公式来计算，较为复杂则需借助文氏图。
所谓具体问题具体分析，这两种方法具体如何运用，考生还要针对不同题型灵活把握。
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