2018年福州公务员考试备考：“中国剩余定理”算理及其应用

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　　为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。(任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是小，而105又是3、5、7的小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是小的一个答案。

　　用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。

　　例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数小是几?

　　题中3、4、5三个数两两互质。

　　则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

　　为了使20被3除余1，用20×2=40;

　　使15被4除余1，用15×3=45;

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，40×1+45×2+36×4=274，

　　因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。

　　例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数小是几?

　　题中3、7、8三个数两两互质。

　　则〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

　　为了使56被3除余1，用56×2=112;

　　使24被7除余1，用24×5=120。

　　使21被8除余1，用21×5=105;

　　然后，112×2+120×4+105×5=1229，

　　因为，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。

　　例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的小的自然数。

　　题中5、8、11三个数两两互质。

　　则〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。

　　为了使88被5除余1，用88×2=176;

　　使55被8除余1，用55×7=385;

　　使40被11除余1，用40×8=320。

　　然后，176×4+385×3+320×2=2499，

　　因为，2499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的数。

　　例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ?(幸福123老师问的题目)

　　题中9、7、5三个数两两互质。

　　则〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

　　为了使35被9除余1，用35×8=280;

　　使45被7除余1，用45×5=225;

　　使63被5除余1，用63×2=126。

　　然后，280×5+225×1+126×2=1877，

　　因为，1877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的数。

　　例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ?(泽林老师的题目)

　　题中9、7、5三个数两两互质。

　　则〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

　　为了使35被9除余1，用35×8=280;

　　使45被7除余1，用45×5=225;

　　使63被5除余1，用63×2=126。

　　然后，280×6+225×2+126×3=2508，

　　因为，2508>315，所以，2508-315×7=303，就是所求的数。

　　(例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是后两步。)

　　关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法：

　　“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来。

　　选了一本小学奥赛的书上的题目，讲下：

　　例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数小是多少?

　　解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的小公倍数，再怎么加都会满足

　　“被6除余4，被7除余4”的条件。

　　46+42=88

　　46+42+42=130

　　46+42+42+42=172

　　这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况。

　　例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生?

　　解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得小公倍数35，直到满足“除3余2”

　　4+7=11

　　11+7=18

　　18+35=53

　　这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。